x^2+50x-30000=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 50 x - 30000 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-200$$

$$x=150$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+50x-30000 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=50 ab=-30000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30000.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 50.

$$a=-150 b=200$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-150=0 és x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-30000 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=50 ab=1\left(-30000\right)=-30000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30000.

$$-1,30000 -2,15000 -3,10000 -4,7500 -5,6000 -6,5000 -8,3750 -10,3000 -12,2500 -15,2000 -16,1875 -20,1500 -24,1250 -25,1200 -30,1000 -40,750 -48,625 -50,600 -60,500 -75,400 -80,375 -100,300 -120,250 -125,240 -150,200$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+30000=29999 -2+15000=14998 -3+10000=9997 -4+7500=7496 -5+6000=5995 -6+5000=4994 -8+3750=3742 -10+3000=2990 -12+2500=2488 -15+2000=1985 -16+1875=1859 -20+1500=1480 -24+1250=1226 -25+1200=1175 -30+1000=970 -40+750=710 -48+625=577 -50+600=550 -60+500=440 -75+400=325 -80+375=295 -100+300=200 -120+250=130 -125+240=115 -150+200=50$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 50.

$$a=-150 b=200$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+50x-30000) \left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right) alakban.

$$\left(x^{2}-150x\right)+\left(200x-30000\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 200 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-150\right)+200\left(x-150\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-150 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-150\right)\left(x+200\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-150=0 és x+200=0.

$$x=150 x=-200$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 50 értéket b-be és a(z) -30000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 50.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30000\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -30000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120000}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 2500 és 120000.

$$x=\frac{-50±\sqrt{122500}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 122500.

$$x=\frac{-50±350}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-50±350}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -50 és 350.

$$x=\frac{300}{2}$$

300 elosztása a következővel: 2.

$$x=150$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-50±350}{2}). ± előjele negatív. 350 kivonása a következőből: -50.

$$x=-\frac{400}{2}$$

-400 elosztása a következővel: 2.

$$x=-200$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=150 x=-200$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+50x-30000=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 30000.

$$x^{2}+50x-30000-\left(-30000\right)=-\left(-30000\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -30000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+50x=-\left(-30000\right)$$

-30000 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+50x=30000$$

Elosztjuk a(z) 50 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 25. Ezután hozzáadjuk 25 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+50x+25^{2}=30000+25^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 25.

$$x^{2}+50x+625=30000+625$$

Összeadjuk a következőket: 30000 és 625.

$$x^{2}+50x+625=30625$$

A(z) x^{2}+50x+625 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+25\right)^{2}=30625$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+25\right)^{2}}=\sqrt{30625}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+25=175 x+25=-175$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$x=150 x=-200$$