x^2+4x-21=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 4 x - 21 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-7$$

$$x=3$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+4x-21 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=4 ab=-21$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -21.

$$-1,21 -3,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 4.

$$a=-3 b=7$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-3\right)\left(x+7\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-3=0 és x+7=0.

$$x=3 x=-7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-21 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -21.

$$-1,21 -3,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 4.

$$a=-3 b=7$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+4x-21) \left(x^{2}-3x\right)+\left(7x-21\right) alakban.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(7x-21\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 7 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(x+7\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-3=0 és x+7=0.

$$x=3 x=-7$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+4x-21=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -21 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-4±10}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±10}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 elosztása a következővel: 2.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±10}{2}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -4.

$$x=-\frac{14}{2}$$

-14 elosztása a következővel: 2.

$$x=-7$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-7$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+4x-21=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 21.

$$x^{2}+4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -21 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+4x=-\left(-21\right)$$

-21 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+4x=21$$

Elosztjuk a(z) 4 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 2. Ezután hozzáadjuk 2 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+4x+2^{2}=21+2^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x^{2}+4x+4=21+4$$

Összeadjuk a következőket: 21 és 4.

$$x^{2}+4x+4=25$$

A(z) x^{2}+4x+4 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+2\right)^{2}=25$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+2=5 x+2=-5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$x=3 x=-7$$