x^2+30x-18000=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-150$$

$$x=120$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+30x-18000 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=30 ab=-18000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -18000.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 30.

$$a=-120 b=150$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-120=0 és x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-18000 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -18000.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 30.

$$a=-120 b=150$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+30x-18000) \left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right) alakban.

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 150 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-120 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-120=0 és x+150=0.

$$x=120 x=-150$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 30 értéket b-be és a(z) -18000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -18000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és 72000.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 72900.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±270}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -30 és 270.

$$x=\frac{240}{2}$$

240 elosztása a következővel: 2.

$$x=120$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-30±270}{2}). ± előjele negatív. 270 kivonása a következőből: -30.

$$x=-\frac{300}{2}$$

-300 elosztása a következővel: 2.

$$x=-150$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=120 x=-150$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 18000.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -18000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

-18000 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+30x=18000$$

Elosztjuk a(z) 30 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 15. Ezután hozzáadjuk 15 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 15.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

Összeadjuk a következőket: 18000 és 225.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

A(z) x^{2}+30x+225 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+15=135 x+15=-135$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 15.

$$x=120 x=-150$$