x^2+3x-11=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) -11 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{53} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -11 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

-11 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 11 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$