x^2+2x-15=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 2 x - 15 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=3$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+2x-15 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=2 ab=-15$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-3 b=5$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-3=0 és x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-15 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -15.

$$-1,15 -3,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 2.

$$a=-3 b=5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+2x-15) \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) alakban.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-3 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-3=0 és x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 64.

$$x=\frac{-2±8}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±8}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

6 elosztása a következővel: 2.

$$x=3$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±8}{2}). ± előjele negatív. 8 kivonása a következőből: -2.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 elosztása a következővel: 2.

$$x=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=3 x=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+2x=15$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Összeadjuk a következőket: 15 és 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=3 x=-5$$