x^2+2x=1 megoldása

$$x ^ { 2 } + 2 x = 1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2,414213562$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

-2+2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{2} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

-2-2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x=1$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$x=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x^{2}+2x-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

-2+2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{2}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{2} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

-2-2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{2}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x=1$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=1+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=1+1$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1.

$$x^{2}+2x+1=2$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{2} x+1=-\sqrt{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{2}-1 x=-\sqrt{2}-1$$