x^2+2x+3=7 megoldása

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 7$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

7 kivonása a következőből: 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

-2+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

-2-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x=7-3$$

3 kivonása a következőből: 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$x^{2}+2x+3-7=7-7$$

Ha kivonjuk a(z) 7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x+3-7=0$$

7 kivonása a következőből: 3.

$$x^{2}+2x-4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{2}$$

-2+2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{5} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{2}$$

-2-2\sqrt{5} elosztása a következővel: 2.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x+3=7$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$x^{2}+2x+3-3=7-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x=7-3$$

3 kivonása a következőből: 7.

$$x^{2}+2x=4$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Tényezőkre x^{2}+2x+1. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$