x^2+2x+3=1 megoldása

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 1$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=-1+i$$

$$x=-1-i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+2x+3=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+3-1=1-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x+3-1=0$$

1 kivonása a következőből: 3.

$$x^{2}+2x+2=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 2 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2i}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{2}$$

-2+2i elosztása a következővel: 2.

$$x=-1+i$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2i}{2}). ± előjele negatív. 2i kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2-2i}{2}$$

-2-2i elosztása a következővel: 2.

$$x=-1-i$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1+i x=-1-i$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+2x+3=1$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$x^{2}+2x+3-3=1-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+2x=1-3$$

3 kivonása a következőből: 1.

$$x^{2}+2x=-2$$

Elosztjuk a(z) 2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 1. Ezután hozzáadjuk 1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-2+1^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x^{2}+2x+1=-2+1$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 1.

$$x^{2}+2x+1=-1$$

A(z) x^{2}+2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+1\right)^{2}=-1$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+1=i x+1=-i$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$x=-1+i x=-1-i$$