x^2+14x-28leq0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 14 x - 28 \leq 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$x^{2}+14x-28=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -28 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 1\left(-28\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\sqrt{77}-7 x=-\sqrt{77}-7$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(x-\left(\sqrt{77}-7\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (x-\left(\sqrt{77}-7\right) és x-\left(-\sqrt{77}-7\right)) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 és x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

Ez minden x esetén hamis.

$$x\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0 és x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x\in \left[-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$