x^2+14x+45=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 14 x + 45 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-9$$

$$x=-5$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához szorzattá alakítjuk a(z) x^{2}+14x+45 kifejezést a(z) x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) képlet alapján. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=14 ab=45$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=5 b=9$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+5=0 és x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx+45 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=14 ab=1\times 45=45$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 45.

$$1,45 3,15 5,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+45=46 3+15=18 5+9=14$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=5 b=9$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+14x+45) \left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right) alakban.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(9x+45\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 9 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x+5\right)+9\left(x+5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x+5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x+5\right)\left(x+9\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x+5=0 és x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) 45 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 45}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 45.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-180}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -180.

$$x=\frac{-14±\sqrt{16}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-14±4}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±4}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 4.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 elosztása a következővel: 2.

$$x=-5$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±4}{2}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{18}{2}$$

-18 elosztása a következővel: 2.

$$x=-9$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-5 x=-9$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+14x+45=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 45.

$$x^{2}+14x+45-45=-45$$

Ha kivonjuk a(z) 45 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+14x=-45$$

Elosztjuk a(z) 14 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 7. Ezután hozzáadjuk 7 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Összeadjuk a következőket: -45 és 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

A(z) x^{2}+14x+49 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 7.

$$x=-5 x=-9$$