x^2+11+sqrt{x^2+11}=42 megoldása

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=5$$

A megoldás lépései

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: x^{2}+11.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

x^{2}+11 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Kivonjuk a(z) 11 értékből a(z) 42 értéket. Az eredmény 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Kiszámoljuk a(z) \sqrt{x^{2}+11} érték 2. hatványát. Az eredmény x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(31-x^{2}\right)^{2}).

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 961.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Kivonjuk a(z) 961 értékből a(z) 11 értéket. Az eredmény -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 62x^{2}.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 62x^{2}. Az eredmény 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{4}.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

t behelyettesítése x^{2} helyére.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 63 értéket b-be és a(z) -950 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-63±13}{-2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=25 t=38$$

Mivel x=t^{2}, a megoldások megtalálásához x=±\sqrt{t} értékét minden egyes t értékre vonatkozóan kiértékelve kapjuk meg.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Behelyettesítjük a(z) 5 értéket x helyére a(z) x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 egyenletben.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=5 érték kielégíti az egyenletet.

$$42=42$$

Behelyettesítjük a(z) -5 értéket x helyére a(z) x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 egyenletben.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Egyszerűsítünk. A(z) x=-5 érték kielégíti az egyenletet.

$$42=42$$

Behelyettesítjük a(z) \sqrt{38} értéket x helyére a(z) x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 egyenletben.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Egyszerűsítünk. A x=\sqrt{38} értéke nem felel meg az egyenletbe.

$$56=42$$

Behelyettesítjük a(z) -\sqrt{38} értéket x helyére a(z) x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 egyenletben.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Egyszerűsítünk. A x=-\sqrt{38} értéke nem felel meg az egyenletbe.

$$56=42$$

A(z) \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} egyenlet összes megoldásának felsorolása

$$x=5 x=-5$$