x^2+10x-3000=0 megoldása

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-60$$

$$x=50$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához x^{2}+10x-3000 a képlet használatával x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=-3000$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-50 b=60$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(x+a\right)\left(x+b\right) kifejezést.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-50=0 és a x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-3000 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-50 b=60$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+10x-3000) \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right) alakban.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 60 faktort.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-50 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-50=0 és a x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -3000 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -3000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 12000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 12100.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±110}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 110.

$$x=\frac{100}{2}$$

100 elosztása a következővel: 2.

$$x=50$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±110}{2}). ± előjele negatív. 110 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{120}{2}$$

-120 elosztása a következővel: 2.

$$x=-60$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=50 x=-60$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3000.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3000 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

-3000 kivonása a következőből: 0.

$$x^{2}+10x=3000$$

Elosztjuk a(z) 10 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye 5. Ezután hozzáadjuk 5 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

Összeadjuk a következőket: 3000 és 25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Tényezőkre x^{2}+10x+25. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+5=55 x+5=-55$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$x=50 x=-60$$