x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2 megoldása

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-2x\right)^{2}).

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 2 és 1 összege 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 4x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és 1. Az eredmény 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: 2x és 12x. Az eredmény 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Összeadjuk a következőket: 11 és 9. Az eredmény 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{4}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: x^{4} és -x^{4}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x^{3}.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{3} és 4x^{3}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-10 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-10 b=3$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-7x-10) \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) 3x^{2}-10x kifejezésből.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-10=0 és a x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-2x\right)^{2}).

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 2 és 1 összege 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 4x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és 1. Az eredmény 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: 2x és 12x. Az eredmény 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Összeadjuk a következőket: 11 és 9. Az eredmény 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{4}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: x^{4} és -x^{4}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x^{3}.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{3} és 4x^{3}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±26}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

A törtet (\frac{40}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{10}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±26}{12}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

-12 elosztása a következővel: 12.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x^{2}-2x\right)^{2}).

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy összeadjuk a kitevőiket. 2 és 1 összege 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és 4x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és 1. Az eredmény 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Összevonjuk a következőket: 2x és 12x. Az eredmény 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Összeadjuk a következőket: 11 és 9. Az eredmény 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és x^{2}. Az eredmény 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{4}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Összevonjuk a következőket: x^{4} és -x^{4}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4x^{3}.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Összevonjuk a következőket: -4x^{3} és 4x^{3}. Az eredmény 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

A törtet (\frac{-14}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

A törtet (\frac{20}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

\frac{10}{3} és \frac{49}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{6}.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$