x=x+1/x-1 megoldása

$$x = \frac { x + 1 } { x - 1 }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{x+1}{x-1}.

$$x-\frac{x+1}{x-1}=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x és \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=0$$

Mivel \frac{x\left(x-1\right)}{x-1} és \frac{x+1}{x-1} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\left(x-1\right)-\left(x+1\right)}{x-1}=0$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x-1\right)-\left(x+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{x^{2}-x-x-1}{x-1}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{2}-x-x-1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{x^{2}-2x-1}{x-1}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet 1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x-1.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}$$

2+2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}). ± előjele negatív. 2\sqrt{2} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}$$

2-2\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{x+1}{x-1}.

$$x-\frac{x+1}{x-1}=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x és \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=0$$

Mivel \frac{x\left(x-1\right)}{x-1} és \frac{x+1}{x-1} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\left(x-1\right)-\left(x+1\right)}{x-1}=0$$

Elvégezzük a képletben (x\left(x-1\right)-\left(x+1\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{x^{2}-x-x-1}{x-1}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (x^{2}-x-x-1) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{x^{2}-2x-1}{x-1}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet 1, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: x-1.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 1. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$x^{2}-2x=1$$

Elosztjuk a(z) -2 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -1. Ezután hozzáadjuk -1 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

A(z) x^{2}-2x+1 kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$