x=8500+10x/1581-31x megoldása

$$x = \frac { 8500 + 10 x } { 1581 - 31 x }$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1414041} + 1571}{62} \approx 44,518299343$$

$$x = \frac{1571 - \sqrt{1414041}}{62} \approx 6,159120012$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{8500+10x}{1581-31x}.

$$x-\frac{8500+10x}{1581-31x}=0$$

Szorzattá alakítjuk a(z) 1581-31x kifejezést.

$$x-\frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x és \frac{31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)}.

$$\frac{x\times 31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)}-\frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Mivel \frac{x\times 31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)} és \frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\times 31\left(-x+51\right)-\left(8500+10x\right)}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Elvégezzük a képletben (x\times 31\left(-x+51\right)-\left(8500+10x\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{-31x^{2}+1581x-8500-10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (-31x^{2}+1581x-8500-10x) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{-31x^{2}+1571x-8500}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{-31x^{2}+1571x-8500}{31\left(-x+51\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{-31\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 31.

$$\frac{-\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)}{-x+51}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet 51, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: -x+51.

$$-\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)=0$$

-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-\left(x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)=0$$

\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-\left(x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)\left(x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -1 és x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}.

$$\left(-x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\left(x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} és x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1}{3844}\left(\sqrt{1414041}\right)^{2}-\frac{2468041}{3844}=0$$

\sqrt{1414041} négyzete 1414041.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1}{3844}\times 1414041-\frac{2468041}{3844}=0$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3844} és 1414041. Az eredmény \frac{1414041}{3844}.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1414041}{3844}-\frac{2468041}{3844}=0$$

Kivonjuk a(z) \frac{2468041}{3844} értékből a(z) \frac{1414041}{3844} értéket. Az eredmény -\frac{8500}{31}.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x-\frac{8500}{31}=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) \frac{1571}{31} értéket b-be és a(z) -\frac{8500}{31} értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\sqrt{\left(\frac{1571}{31}\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-\frac{8500}{31}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

A(z) \frac{1571}{31} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\sqrt{\frac{2468041}{961}-4\left(-1\right)\left(-\frac{8500}{31}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\sqrt{\frac{2468041}{961}+4\left(-\frac{8500}{31}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -\frac{8500}{31}.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\sqrt{\frac{2468041}{961}-\frac{34000}{31}}}{2\left(-1\right)}$$

\frac{2468041}{961} és -\frac{34000}{31} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\sqrt{\frac{1414041}{961}}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: \frac{1414041}{961}.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\frac{\sqrt{1414041}}{31}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-\frac{1571}{31}±\frac{\sqrt{1414041}}{31}}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{1571}{31}±\frac{\sqrt{1414041}}{31}}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -\frac{1571}{31} és \frac{\sqrt{1414041}}{31}.

$$x=\frac{\sqrt{1414041}-1571}{-2\times 31}$$

\frac{-1571+\sqrt{1414041}}{31} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{1571-\sqrt{1414041}}{62}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-\frac{1571}{31}±\frac{\sqrt{1414041}}{31}}{-2}). ± előjele negatív. \frac{\sqrt{1414041}}{31} kivonása a következőből: -\frac{1571}{31}.

$$x=\frac{-\sqrt{1414041}-1571}{-2\times 31}$$

\frac{-1571-\sqrt{1414041}}{31} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{\sqrt{1414041}+1571}{62}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1571-\sqrt{1414041}}{62} x=\frac{\sqrt{1414041}+1571}{62}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: \frac{8500+10x}{1581-31x}.

$$x-\frac{8500+10x}{1581-31x}=0$$

Szorzattá alakítjuk a(z) 1581-31x kifejezést.

$$x-\frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: x és \frac{31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)}.

$$\frac{x\times 31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)}-\frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Mivel \frac{x\times 31\left(-x+51\right)}{31\left(-x+51\right)} és \frac{8500+10x}{31\left(-x+51\right)} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{x\times 31\left(-x+51\right)-\left(8500+10x\right)}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Elvégezzük a képletben (x\times 31\left(-x+51\right)-\left(8500+10x\right)) szereplő szorzásokat.

$$\frac{-31x^{2}+1581x-8500-10x}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (-31x^{2}+1581x-8500-10x) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{-31x^{2}+1571x-8500}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Felbontjuk prímtényezőkre az egyenletben (\frac{-31x^{2}+1571x-8500}{31\left(-x+51\right)}) még fel nem bontott kifejezéseket.

$$\frac{-31\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)}{31\left(-x+51\right)}=0$$

Kiejtjük ezt az értéket a számlálóban és a nevezőben is: 31.

$$\frac{-\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)}{-x+51}=0$$

A változó (x) értéke nem lehet 51, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: -x+51.

$$-\left(x-\left(-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)=0$$

-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-\left(x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)\left(x-\left(\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\right)=0$$

\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$-\left(x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)\left(x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -1 és x+\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}.

$$\left(-x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62}\right)\left(x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (-x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}+\frac{1571}{62} és x-\frac{1}{62}\sqrt{1414041}-\frac{1571}{62}), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1}{3844}\left(\sqrt{1414041}\right)^{2}-\frac{2468041}{3844}=0$$

\sqrt{1414041} négyzete 1414041.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1}{3844}\times 1414041-\frac{2468041}{3844}=0$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3844} és 1414041. Az eredmény \frac{1414041}{3844}.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x+\frac{1414041}{3844}-\frac{2468041}{3844}=0$$

Kivonjuk a(z) \frac{2468041}{3844} értékből a(z) \frac{1414041}{3844} értéket. Az eredmény -\frac{8500}{31}.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x-\frac{8500}{31}=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: \frac{8500}{31}. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-x^{2}+\frac{1571}{31}x=\frac{8500}{31}$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+\frac{1571}{31}x}{-1}=\frac{\frac{8500}{31}}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{\frac{1571}{31}}{-1}x=\frac{\frac{8500}{31}}{-1}$$

\frac{1571}{31} elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-\frac{1571}{31}x=\frac{\frac{8500}{31}}{-1}$$

\frac{8500}{31} elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-\frac{1571}{31}x=-\frac{8500}{31}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1571}{31} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1571}{62}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1571}{62} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1571}{31}x+\left(-\frac{1571}{62}\right)^{2}=-\frac{8500}{31}+\left(-\frac{1571}{62}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1571}{62} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1571}{31}x+\frac{2468041}{3844}=-\frac{8500}{31}+\frac{2468041}{3844}$$

-\frac{8500}{31} és \frac{2468041}{3844} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1571}{31}x+\frac{2468041}{3844}=\frac{1414041}{3844}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1571}{31}x+\frac{2468041}{3844}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1571}{62}\right)^{2}=\frac{1414041}{3844}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1571}{62}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1414041}{3844}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1571}{62}=\frac{\sqrt{1414041}}{62} x-\frac{1571}{62}=-\frac{\sqrt{1414041}}{62}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1571}{62}.

$$x=\frac{\sqrt{1414041}+1571}{62} x=\frac{1571-\sqrt{1414041}}{62}$$