Megoldás a(z) x, y változóra
x=\frac{19}{x_{2}+3}
y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}
x_{2}\neq -3
Grafikon
Megosztás
Átmásolva a vágólapra
x+y=5,x_{2}x-3y=4
Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.
x+y=5
Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.
x=-y+5
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: y.
x_{2}\left(-y+5\right)-3y=4
Behelyettesítjük a(z) -y+5 értéket x helyére a másik, x_{2}x-3y=4 egyenletben.
\left(-x_{2}\right)y+5x_{2}-3y=4
Összeszorozzuk a következőket: x_{2} és -y+5.
\left(-x_{2}-3\right)y+5x_{2}=4
Összeadjuk a következőket: -x_{2}y és -3y.
\left(-x_{2}-3\right)y=4-5x_{2}
Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5x_{2}.
y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -x_{2}-3.
x=-\left(-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}\right)+5
A(z) x=-y+5 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
x=\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}+5
Összeszorozzuk a következőket: -1 és -\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}.
x=\frac{19}{x_{2}+3}
Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}.
x=\frac{19}{x_{2}+3},y=-\frac{4-5x_{2}}{x_{2}+3}
A rendszer megoldva.
x+y=5,x_{2}x-3y=4
Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.
\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\x_{2}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-x_{2}}&-\frac{1}{-3-x_{2}}\\-\frac{x_{2}}{-3-x_{2}}&\frac{1}{-3-x_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{x_{2}+3}&\frac{1}{x_{2}+3}\\\frac{x_{2}}{x_{2}+3}&\frac{1}{-x_{2}-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{x_{2}+3}\times 5+\frac{1}{x_{2}+3}\times 4\\\frac{x_{2}}{x_{2}+3}\times 5+\frac{1}{-x_{2}-3}\times 4\end{matrix}\right)
Összeszorozzuk a mátrixokat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{x_{2}+3}\\\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}\end{matrix}\right)
Elvégezzük a számolást.
x=\frac{19}{x_{2}+3},y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}
A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.
x+y=5,x_{2}x-3y=4
A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.
x_{2}x+x_{2}y=x_{2}\times 5,x_{2}x-3y=4
x és x_{2}x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: x_{2}, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.
x_{2}x+x_{2}y=5x_{2},x_{2}x-3y=4
Egyszerűsítünk.
x_{2}x+\left(-x_{2}\right)x+x_{2}y+3y=5x_{2}-4
x_{2}x-3y=4 kivonása a következőből: x_{2}x+x_{2}y=5x_{2}: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.
x_{2}y+3y=5x_{2}-4
Összeadjuk a következőket: x_{2}x és -x_{2}x. x_{2}x és -x_{2}x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.
\left(x_{2}+3\right)y=5x_{2}-4
Összeadjuk a következőket: x_{2}y és 3y.
y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: x_{2}+3.
x_{2}x-3\times \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}=4
A(z) x_{2}x-3y=4 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.
x_{2}x-\frac{3\left(5x_{2}-4\right)}{x_{2}+3}=4
Összeszorozzuk a következőket: -3 és \frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}.
x_{2}x=\frac{19x_{2}}{x_{2}+3}
Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3\left(5x_{2}-4\right)}{x_{2}+3}.
x=\frac{19}{x_{2}+3}
Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: x_{2}.
x=\frac{19}{x_{2}+3},y=\frac{5x_{2}-4}{x_{2}+3}
A rendszer megoldva.
Példák
Másodfokú egyenlet
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineáris egyenlet
y = 3x + 4
Számtan
699 * 533
Mátrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Egyenletrendszer
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenciálszámítás
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrálás
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Határértékek
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}