x+3y=6;5x-2y=13 megoldása

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=3$$

$$y=1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+3y=6$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3y.

$$x=-3y+6$$

Behelyettesítjük a(z) -3y+6 értéket x helyére a másik, 5x-2y=13 egyenletben.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Összeszorozzuk a következőket: 5 és -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Összeadjuk a következőket: -15y és -2y.

$$-17y+30=13$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 30.

$$-17y=-17$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -17.

$$y=1$$

A(z) x=-3y+6 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-3+6$$

Összeadjuk a következőket: 6 és -3.

$$x=3$$

A rendszer megoldva.

$$x=3,y=1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=3,y=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

x és 5x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 5, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Egyszerűsítünk.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

5x-2y=13 kivonása a következőből: 5x+15y=30: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Összeadjuk a következőket: 5x és -5x. 5x és -5x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$15y+2y=30-13$$

Összeadjuk a következőket: 15y és 2y.

$$17y=30-13$$

Összeadjuk a következőket: 30 és -13.

$$17y=17$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 17.

$$y=1$$

A(z) 5x-2y=13 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$5x-2=13$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 2.

$$5x=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 5.

$$x=3$$

A rendszer megoldva.

$$x=3,y=1$$