x+1=(x+7)^2 megoldása

$$x + 1 = ( x + 7 ) ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}\approx -6,5-2,397915762i$$

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}\approx -6,5+2,397915762i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+7\right)^{2}).

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

Összevonjuk a következőket: x és -14x. Az eredmény -13x.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 49.

$$-13x+1-x^{2}-49=0$$

Kivonjuk a(z) 49 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -48.

$$-13x-48-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}-13x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) -13 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és -48.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-192}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 169 és -192.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -23.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

-13 ellentettje 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 13 és i\sqrt{23}.

$$x=\frac{13+\sqrt{23}i}{-2}$$

13+i\sqrt{23} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}). ± előjele negatív. i\sqrt{23} kivonása a következőből: 13.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+13}{-2}$$

13-i\sqrt{23} elosztása a következővel: -2.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2} x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+7\right)^{2}).

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 14x.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

Összevonjuk a következőket: x és -14x. Az eredmény -13x.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$-13x-x^{2}=49-1$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 49 értéket. Az eredmény 48.

$$-13x-x^{2}=48$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}-13x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}-13x}{-1}=\frac{48}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)x=\frac{48}{-1}$$

-13 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+13x=\frac{48}{-1}$$

48 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}+13x=-48$$

Elosztjuk a(z) 13 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{13}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{13}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-48+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{13}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-48+\frac{169}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -48 és \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-\frac{23}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{13}{2}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$