w^3=-64 megoldása

$$w ^ { 3 } = - 64$$

Megoldás a(z) w változóra (complex solution)

$$w=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

$$w=-4$$

$$w=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

A megoldás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 64.

$$w^{3}+64=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 64 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$w=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) w-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) w^{3}+64 értéket a(z) w+4 értékkel. Az eredmény w^{2}-4w+16. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$w^{2}-4w+16=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben.

$$w=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$w=\frac{4±\sqrt{-48}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (w^{2}-4w+16=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$w=-2i\sqrt{3}+2 w=2+2i\sqrt{3}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$w=-4 w=-2i\sqrt{3}+2 w=2+2i\sqrt{3}$$

Megoldás a(z) w változóra

$$w=-4$$

A megoldás lépései

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 64.

$$w^{3}+64=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 64 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$w=-4$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) w-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) w^{3}+64 értéket a(z) w+4 értékkel. Az eredmény w^{2}-4w+16. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$w^{2}-4w+16=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben.

$$w=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$w=\frac{4±\sqrt{-48}}{2}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$w\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$w=-4$$