t^2-6t+1geq0 megoldása

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Megoldás a(z) t változóra

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -6 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

A szorzat csak akkor ≥0, ha a két érték (t-\left(2\sqrt{2}+3\right) és t-\left(3-2\sqrt{2}\right)) egyaránt ≤0 vagy ≥0. Tegyük fel, hogy t-\left(2\sqrt{2}+3\right) és t-\left(3-2\sqrt{2}\right) eredménye egyaránt ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Tegyük fel, hogy t-\left(2\sqrt{2}+3\right) és t-\left(3-2\sqrt{2}\right) eredménye egyaránt ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$