r^2-22r-7=0 megoldása

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Megoldás a(z) r változóra

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -22 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -22.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 484 és 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

-22 ellentettje 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 22 és 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

22+16\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Megoldjuk az egyenletet (r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}). ± előjele negatív. 16\sqrt{2} kivonása a következőből: 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

22-16\sqrt{2} elosztása a következővel: 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Elosztjuk a(z) -22 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -11. Ezután hozzáadjuk -11 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Összeadjuk a következőket: 7 és 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Tényezőkre r^{2}-22r+121. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Egyszerűsítünk.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 11.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$