n^2-n-210=0 megoldása

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=-14$$

$$n=15$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához n^{2}-n-210 a képlet használatával n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-15 b=14$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(n+a\right)\left(n+b\right) kifejezést.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-15=0 és a n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk n^{2}+an+bn-210 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-15 b=14$$

Átírjuk az értéket (n^{2}-n-210) \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) alakban.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

A n a második csoportban lévő első és 14 faktort.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) n-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-15=0 és a n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$n^{2}-n-210=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -210 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 ellentettje 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{1±29}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 elosztása a következővel: 2.

$$n=15$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{1±29}{2}). ± előjele negatív. 29 kivonása a következőből: 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28 elosztása a következővel: 2.

$$n=-14$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=15 n=-14$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$n^{2}-n-210=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 210.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -210 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

-210 kivonása a következőből: 0.

$$n^{2}-n=210$$

Elosztjuk a(z) -1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 210 és \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Tényezőkre n^{2}-n+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{2}.

$$n=15 n=-14$$