n^2-4019n+2009^2leq0 megoldása

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Kiszámoljuk a(z) 2009 érték 2. hatványát. Az eredmény 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -4019 értéket b-be és a(z) 4036081 értéket c-be a megoldóképletben.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

A szorzat csak akkor ≤0, ha a két érték (n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} és n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}) közül az egyik ≥0, a másik pedig ≤0. Tegyük fel, hogy n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 és n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Ez minden n esetén hamis.

$$n\in \emptyset$$

Tegyük fel, hogy n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 és n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$