n^2-11n-60=0 megoldása

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=-4$$

$$n=15$$

A tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához n^{2}-11n-60 a képlet használatával n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-15 b=4$$

Az eredményül kapott értékeket használva átírjuk a tényezőkre bontott \left(n+a\right)\left(n+b\right) kifejezést.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-15=0 és a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk n^{2}+an+bn-60 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -11.

$$a=-15 b=4$$

Átírjuk az értéket (n^{2}-11n-60) \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) alakban.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

A n a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) n-15 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a n-15=0 és a n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) -11 értéket b-be és a(z) -60 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 121 és 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 ellentettje 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{11±19}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 11 és 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 elosztása a következővel: 2.

$$n=15$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{11±19}{2}). ± előjele negatív. 19 kivonása a következőből: 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 elosztása a következővel: 2.

$$n=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=15 n=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 60.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -60 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

-60 kivonása a következőből: 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Elosztjuk a(z) -11 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 60 és \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Tényezőkre n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{2}.

$$n=15 n=-4$$