n^2+n-102=0 megoldása

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$n^{2}+n-102=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -102 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}). ± előjele negatív. \sqrt{409} kivonása a következőből: -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$n^{2}+n-102=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 102.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -102 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

-102 kivonása a következőből: 0.

$$n^{2}+n=102$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 102 és \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Tényezőkre n^{2}+n+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$