f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20 megoldása

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Szorzattá alakítás

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -20 állandónak, és q osztója a(z) 2 főegyütthatónak. Az egyik ilyen gyök -\frac{5}{2}. Bontsa tényezőkre a polinomot, elosztva a következővel: 2x+5!

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Vegyük a következőt: x^{3}+3x^{2}-4. A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -4 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az egyik ilyen gyök -2. Bontsa tényezőkre a polinomot, elosztva a következővel: x+2!

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Vegyük a következőt: x^{2}+x-2. Csoportosítással tényezőkre bontjuk a kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-2 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-1 b=2$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+x-2) \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right) alakban.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Írja át a teljes tényezőkre bontott kifejezést.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Kiértékelés

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$