f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt megoldása

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{3}\mathrm{d}t \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}. Összeszorozzuk a következőket: 2 és \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

A 1 az általános integrálások táblájában használt táblázat használatával megkeresheti a \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Differenciálás x szerint

$$x^{3}+2x^{2}+1$$