f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt megoldása

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Kiértékelés

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

A megoldás lépései

Először a határozatlan integrál kiértékelése

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Az összeg integrálása tagonként

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Az állandó kiemelése minden egyes tagban

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Mivel \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, cserélje \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Összeszorozzuk a következőket: -1 és \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

A határozott integrál értéke a kifejezés primitív függvényének helyettesítési értéke az integrálás felső határán mínusz a primitív függvény helyettesítési értéke az integrálás alsó határán.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Egyszerűsítünk.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Differenciálás x szerint

$$x\left(x-1\right)$$