a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32 megoldása

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

Szorzattá alakítás

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -32 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$a=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) a-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 értéket a(z) a-2 értékkel. Az eredmény a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 16 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$a=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) a-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 értéket a(z) a-2 értékkel. Az eredmény a^{3}-2a^{2}+4a-8. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -8 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$a=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) a-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) a^{3}-2a^{2}+4a-8 értéket a(z) a-2 értékkel. Az eredmény a^{2}+4. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{2}+4=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

A(z) a^{2}+4 polinom nincs tényezőkre bontva, mert nem rendelkezik racionális gyökökkel.

$$a^{2}+4$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

Kiértékelés

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$