a^4-20a^2+64 megoldása

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

Szorzattá alakítás

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

A megoldás lépései

A kifejezés tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) 64 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$a=2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) a-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) a^{4}-20a^{2}+64 értéket a(z) a-2 értékkel. Az eredmény a^{3}+2a^{2}-16a-32. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -32 állandónak, és q osztója a(z) 1 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$a=-2$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) a-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) a^{3}+2a^{2}-16a-32 értéket a(z) a+2 értékkel. Az eredmény a^{2}-16. Az eredmény tényezőkre bontásához megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$a^{2}-16=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 1 értéket a-ba, a(z) 0 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$a=\frac{0±8}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (a^{2}-16=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$a=-4 a=4$$

A tényezőkre bontott kifejezés újraírása az eredményül kapott gyökökkel.

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

Kiértékelés

$$a^{4}-20a^{2}+64$$