A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás, valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak. A komplex számok halmazát displaystylemathbbC vagy displaystylemathbfC betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.) A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható. A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós. Ezt az testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását illetve ezen túl a szorzás asszociativitását. A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az displaystyle(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), formulával definiáljuk; a szorzást a kissé légbőlkapott displaystyle(a,b)cdot(c,d)=(ac-bd,bc+ad), egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, displaystylecdot) matematikai struktúra valóban testet alkot a 0:= additív neutrális elem és a 1:= multiplikatív neutrális elem választásával. Érdemes még felírni az additív inverz elemet: displaystyle-(a,b)=(-a,-b) és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén: displaystylefrac1(a,b)=left(fracaa²+b²,frac-ba²+b²right). A valós számtestet az R displaystylerightarrow R×R, a displaystylemapsto (a,0) bijektív azonosítással kapjuk. A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz és, mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a elemet: (0,1)² = (0,1)displaystylecdot(0,1) = (0displaystylecdot0 – 1displaystylecdot1,1displaystylecdot0 + 0displaystylecdot1) = (-1,0) = -1 Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra. A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó displaystylemboxᵣcdₒₜₘₐₜₕcₐₗFᵥₐᵣₚₕᵢ leképezés mátrixa: displaystyle[rcdotmathcalFᵥₐᵣₚₕᵢ]=rcdotbeginpmatrixcosvarphi&-sinvarphisinvarphi&;;cosvarphiendpmatrix vagy az a := rdisplaystylecdotcos(φ), b := rdisplaystylecdotsin(φ) választással: displaystylebeginpmatrixa&-b\b&;;aendpmatrix. Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt. Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás: displaystyle[rcdotmathcalFᵥₐᵣₚₕᵢ+scdotmathcalFₚₛᵢ]=[rcdotmathcalFᵥₐᵣₚₕᵢ]+[scdotmathcalFₚₛᵢ] A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás: displaystyle[(rcdotmathcalFᵥₐᵣₚₕᵢ)circ(scdotmathcalFₚₛᵢ)]=[(rcdot s)cdotmathcalFᵥₐᵣₚₕᵢ₊ₚₛᵢ]=rsbeginpmatrixcos(varphi+psi)&-sin(varphi+psi)sin(varphi+psi)&;;cos(varphi+psi)endpmatrix Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka. A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x² = -1 egyenlet. Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé. Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű főideálja szerinti R[x] / faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x²+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk: displaystylex²+1equiv0 Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom megoldása az displaystylex²equiv-1 egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x²+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az displaystylea+bi, nevezetes algebrai alakban. Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre displaystylei²=-1;i³=-i;i⁴=1;i⁵=i, Bárhogy is definiáljuk a komplex számok displaystylemboxₘₐₜₕbbC halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ displaystylemboxₘₐₜₕbbC komplex szám egyértelműen előállítható z = adisplaystylecdot1 + bdisplaystylecdoti alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre: displaystylez=a,+,bcdot i Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és displaystylemathrmRe,z -vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének: displaystylemathrmIm,z vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát: displaystylez=mathrmRe,z,+,icdotmathrmIm,z A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor displaystyle|z|:=sqrta²+b²,. A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy Argand-diagram. Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték, és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge. A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható displaystylez=rcdot(cos,varphi+i!cdot!sin,varphi) alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze displaystylea=r,cos,varphi és displaystyleb=r,sin,varphi. A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki: displaystyler=sqrta²+b² Illetve nem nulla a esetén: displaystylevarphi=begincasesmathrmarctgleft(fracbaright),&mboxhaa>0π+mathrmarctgleft(fracbaright),&mboxhaa<0.endcases Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre: displaystylearg(a+bi)=operatornamearctg2(b,a), Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z₁ és z₂ komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan: displaystylez₁cdotz₂=r₁r₂(cos(varphi+psi)+isin(varphi+psi)) A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás: displaystylezⁿ=rⁿ(cos(nvarphi)+isin(nvarphi)) amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk: displaystyle(cos,varphi+isin,varphi)ⁿ=cos(nvarphi)+isin(nvarphi) Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok: displaystylesin,z=sumlimitsₖ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac(-1)ᵏ(2k+1)!z²ᵏ⁺¹ displaystylecos,z=sumlimitsₖ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac(-1)ᵏ(2k)!z²ᵏ displaystyleexp,z=sumlimitsₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸfrac1n!zⁿ Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva: displaystyleexp(iz)=eⁱᶻ=cos,z+isin,z Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük: displaystyleeⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ=cos,varphi+isin,varphi Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának: displaystyleeⁱᵖⁱ=-1, Tehát minden komplex szám előáll displaystylez=reⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ alakban. Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik: displaystylez₁cdotz₂=r₁eⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₁cdotr₂eⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₂=r₁r₂eⁱ⁽ᵛᵃʳᵖʰⁱ₁⁺ᵛᵃʳᵖʰⁱ₂⁾ Feltéve, hogy r₂ nem nulla: displaystylefracz₁z₂=fracr₁eⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₁r₂eⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₂=fracr₁r₂eⁱ⁽ᵛᵃʳᵖʰⁱ₁⁻ᵛᵃʳᵖʰⁱ₂⁾ displaystylezⁿ=rⁿcdoteⁱⁿᵛᵃʳᵖʰⁱ Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni: displaystylez=reⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ=eᵛᵃʳᵖʰⁱ₀eⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ=eᵛᵃʳᵖʰⁱ₀⁺ⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₁ Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ₀+iφ₁, akkor displaystylezʷ=(eᵛᵃʳᵖʰⁱ₀⁺ⁱᵛᵃʳᵖʰⁱ₁)ʷ=(eᵛ)ʷ=eᵛᶜᵈᵒᵗ ʷ Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk displaystyle2pi-t: displaystylez=Rcdoteⁱᶜᵈᵒᵗᵖʰⁱ=Rcdoteⁱᶜᵈᵒᵗˡᵉᶠᵗ⁽ᵖʰⁱ⁺ᵏᶜᵈᵒᵗ²ᵖⁱ ʳⁱᵍʰᵗ⁾, ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor displaystyle z-ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak displaystylefracphin ilyen, hanem a következő arkuszok mind: displaystylefracphin+frackcdot2pin, ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik displaystylesqrt[n]z=sqrt[n]Rcdotleft(eⁱᶜᵈᵒᵗᵖʰⁱright)=sqrt[n]Rcdoteⁱᶜᵈᵒᵗˡᵉᶠᵗ⁽ᶠʳᵃᶜᵖʰⁱⁿ⁺ᶠʳᵃᶜᵏᶜᵈᵒᵗ²ᵖⁱⁿʳⁱᵍʰᵗ⁾, ahol k=0,1,2, … n-1. Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen displaystyle z. Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes displaystylepm1, vagyis a következő két (komplex) szám displaystylee⁰=1, és displaystyleeⁱᶜᵈᵒᵗˡᵉᶠᵗ⁽⁰⁺ᵖⁱ ʳⁱᵍʰᵗ⁾=-1. Példaképp most számoljuk ki a displaystylez=1+i=sqrt2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜᵖⁱ⁴ komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van: displaystylesqrt[8]2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜᵖⁱ¹⁶, displaystylesqrt[8]2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜ⁹ᶜᵈᵒᵗᵖⁱ¹⁶, displaystylesqrt[8]2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜ¹⁷ᶜᵈᵒᵗᵖⁱ¹⁶ és displaystylesqrt[8]2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜ²⁵ᶜᵈᵒᵗᵖⁱ¹⁶. Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve: displaystyleleft(sqrt[8]2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜ²⁵ᶜᵈᵒᵗᵖⁱ¹⁶right)⁴=sqrt2eⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜ²⁵ᶜᵈᵒᵗ⁴ᶜᵈᵒᵗᵖⁱ¹⁶=sqrt2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗˡᵉᶠᵗ⁽ᶠʳᵃᶜᵖⁱ⁴⁺³ᶜᵈᵒᵗ²ᵖⁱ ʳⁱᵍʰᵗ⁾=sqrt2cdoteⁱᶜᵈᵒᵗᶠʳᵃᶜᵖⁱ⁴=1+i. A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet. Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák a következők: a valós számok teste, a komplex számok teste, a kvaterniók teste. Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós, valódi bővítése R-nek és kommutatív, ekkor eljutunk a komplex számok testéhez. Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest. Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely: karakterisztikája 0, a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum, algebrailag zárt. Ez a komplex számok teste. Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben: Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste. Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak. A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok displaystylemathbbQ testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok displaystylemathbbR teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok displaystylemathbbC teste. Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok displaystylemathbbQₚ teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai displaystylemathbbQₚᵐᵃᵗʰʳᵐᵃˡ lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont displaystylemathbbQₚᵐᵃᵗʰʳᵐᵃˡ nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a displaystylesumₙ₌₀ⁱⁿᶠᵗʸp³ⁿ²/²ⁿ² sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a displaystylemathbbQₚᵐᵃᵗʰʳᵐᵃˡ testben. A displaystylemathbbQₚᵐᵃᵗʰʳᵐᵃˡ teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok displaystylemathbbCₚ teste. Megmutatható, hogy a komplex számok displaystylemathbbC teste izomorf a komplex p-adikus számok displaystylemathbbCₚ testével, viszont nem létezik displaystylemathbbC és displaystylemathbbCₚ közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát). A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények. A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása. A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk, majd még egyszer teljessé tesszük. A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk. A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni. A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani. Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke, displaystylepsipsi* képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét. C: #include <complex.h>; C++: #include <complex>; C#: using System.Numerics; D: import std.complex; Fortran: alapból kezeli Go: import "math/cmplx" Julia: alapból kezeli Matlab: alapból kezeli Octave: alapból kezeli Perl: use Math::Complex; Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath Rust: use num_complex::Complex; R: alapból kezeli ↑ ld. pl. Stephen Hawking: Az idő rövid története Archiválva 2009. január 20-i dátummal a Wayback Machine-ben. Könyvében Hawking amellett is érvel, hogy a fizika számára a téridő megértésének, vagy legalábbis leírásának kulcsfontosságú lépése, hogy az időt képzetes mennyiségnek tekintsük, azaz komplex számokkal mérjük. Az algebra alaptétele A PlanetMath complex szócikke Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben A PlanetMath complex number szócikke Archiválva 2009. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben A MathWorld complex number szócikke A komplex számok története Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala – az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal) ↑ Hamburg: Mike Hamburg: Construction of displaystylemathbbCₚ and Extension of p-adic Valuations to displaystylemathbbC, 2004. október 10. (Hozzáférés: 2022. február 20.) ↑ Koblitz: Neal Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, második, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven), New York: Springer Science+Business Media. DOI: 10.1007/978-1-4612-1112-9 (1984). ISBN 978-0-387-96017-3 ↑ Lang: Serge Lang. Cyclotomic Fields I and II – With an Appendix by Karl Rubin, Combined Second Edition, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven) (1990) ↑ Roquette: Peter Roquette (2003. február 1.). „On the History of Valuation Theory”. (Hozzáférés: 2022. február 20.) Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Budapest, 2003 Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Budapest, 2004 Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007 Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004 Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007 Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009 Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 Kecskés Lajos: A halmaz peremén.
