F(x)=cos(x) megoldása

$$F ( x ) = \cos ( x )$$

Differenciálás x szerint

$$-\sin(x)$$

Lépések a definíció szerinti deriválás használatával

Egy f\left(x\right) függvény deriváltja az \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} kifejezés határértéke, ha h tart 0-hoz, feltéve, hogy létezik határérték.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)$$

Két szám összegének a koszinuszára vonatkozó azonosságot használjuk.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$$

Kiemeljük a következőt: \cos(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

A határérték (h tart a következőhöz: 0) kiszámolásához felhasználjuk, hogy x konstans.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

A határérték (\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}) 1.

$$\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)$$

A határérték (\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}) kiszámításához először megszorozzuk a számlálót és a nevezőt a következővel: \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \cos(h)+1 és \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

A pitagoraszi azonosságot használjuk.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Átalakítjuk a határértéket.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

A határérték (\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}) 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Felhasználjuk, hogy \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} folytonos a(z) 0 pontban.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Behelyettesítjük a(z) 0 értéket a(z) \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x) kifejezésbe.

$$-\sin(x)$$

Kiértékelés

$$\cos(x)$$