{l}{x+2y=8}{x-2y=2} megoldása

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$x+2y=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2y.

$$x=-2y+8$$

Behelyettesítjük a(z) -2y+8 értéket x helyére a másik, x-2y=2 egyenletben.

$$-2y+8-2y=2$$

Összeadjuk a következőket: -2y és -2y.

$$-4y+8=2$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$-4y=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

A(z) x=-2y+8 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{3}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Összeadjuk a következőket: 8 és -3.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Az \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2-es mátrix inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) mátrix, így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

x-2y=2 kivonása a következőből: x+2y=8: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Összeadjuk a következőket: x és -x. x és -x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$2y+2y=8-2$$

Összeadjuk a következőket: 2y és 2y.

$$4y=8-2$$

Összeadjuk a következőket: 8 és -2.

$$4y=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

A(z) x-2y=2 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: \frac{3}{2}. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$x=5$$

A rendszer megoldva.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$