9x-4y=14text{247}7x-3y=11 megoldása

$$9 x - 4 y = 14 \text { 247 } 7 x - 3 y = 11$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=2$$

$$y=1$$

Lépések helyettesítés használatával

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$9x-4y=14$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 4y.

$$9x=4y+14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+14\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{9} és 4y+14.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{14}{9}$$

Behelyettesítjük a(z) \frac{4y+14}{9} értéket x helyére a másik, 7x-3y=11 egyenletben.

$$7\left(\frac{4}{9}y+\frac{14}{9}\right)-3y=11$$

Összeszorozzuk a következőket: 7 és \frac{4y+14}{9}.

$$\frac{28}{9}y+\frac{98}{9}-3y=11$$

Összeadjuk a következőket: \frac{28y}{9} és -3y.

$$\frac{1}{9}y+\frac{98}{9}=11$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{98}{9}.

$$\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}$$

Mindkét oldalt megszorozzuk ennyivel: 9.

$$y=1$$

A(z) x=\frac{4}{9}y+\frac{14}{9} egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

\frac{14}{9} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=1$$

Lépések mátrixok használatával

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}&\frac{9}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\-7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 14+4\times 11\\-7\times 14+9\times 11\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=2,y=1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

9x és 7x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: 7, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 9.

$$7\times 9x+7\left(-4\right)y=7\times 14,9\times 7x+9\left(-3\right)y=9\times 11$$

Egyszerűsítünk.

$$63x-28y=98,63x-27y=99$$

63x-27y=99 kivonása a következőből: 63x-28y=98: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$63x-63x-28y+27y=98-99$$

Összeadjuk a következőket: 63x és -63x. 63x és -63x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$-28y+27y=98-99$$

Összeadjuk a következőket: -28y és 27y.

$$-y=98-99$$

Összeadjuk a következőket: 98 és -99.

$$-y=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$y=1$$

A(z) 7x-3y=11 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: 1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$7x-3=11$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$7x=14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 7.

$$x=2$$

A rendszer megoldva.

$$x=2,y=1$$