9x^2-x-890=0 megoldása

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9,888888889$$

$$x=10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-890 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -1.

$$a=-90 b=89$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}-x-890) \left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

A 9x a második csoportban lévő első és 89 faktort.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-10=0 és a 9x+89=0.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -1 értéket b-be és a(z) -890 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

-1 ellentettje 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±179}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 1 és 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

180 elosztása a következővel: 18.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{1±179}{18}). ± előjele negatív. 179 kivonása a következőből: 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

A törtet (\frac{-178}{18}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{89}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 890.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -890 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

-890 kivonása a következőből: 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{1}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{18}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{18} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{18} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

\frac{890}{9} és \frac{1}{324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{18}.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$