9x^2-5x+4=0 megoldása

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0,277777778+0,606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0,277777778-0,606039562i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -119.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}). ± előjele negatív. i\sqrt{119} kivonása a következőből: 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{18}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{18} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{18} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

-\frac{4}{9} és \frac{25}{324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

A(z) x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{18}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$