9x^2-24x=65 megoldása

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 65.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-65 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -24.

$$a=-39 b=15$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}-24x-65) \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-13 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-13=0 és a 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-24x=65$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 65.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Ha kivonjuk a(z) 65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -24 értéket b-be és a(z) -65 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 576 és 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

-24 ellentettje 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±54}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 24 és 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

A törtet (\frac{78}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{13}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{24±54}{18}). ± előjele negatív. 54 kivonása a következőből: 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

A törtet (\frac{-30}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-24x=65$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

A törtet (\frac{-24}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

\frac{65}{9} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$