9x^2-14x-14=0 megoldása

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -14 értéket b-be és a(z) -14 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14 ellentettje 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 14 és 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

14+10\sqrt{7} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}). ± előjele negatív. 10\sqrt{7} kivonása a következőből: 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

14-10\sqrt{7} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 14.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -14 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

-14 kivonása a következőből: 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{14}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{9}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

\frac{14}{9} és \frac{49}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

A(z) x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{9}.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$