9x^2+7x+9=25 megoldása

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 25.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Kivonjuk a(z) 25 értékből a(z) 9 értéket. Az eredmény -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-16 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 7.

$$a=-9 b=16$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}+7x-16) \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

A 9x a második csoportban lévő első és 16 faktort.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

25 kivonása a következőből: 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±25}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

18 elosztása a következővel: 18.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±25}{18}). ± előjele negatív. 25 kivonása a következőből: -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

A törtet (\frac{-32}{18}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

9 kivonása a következőből: 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{18}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{18} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{18} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

\frac{16}{9} és \frac{49}{324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{18}.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$