9x^2+6x+9=0 megoldása

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

-6+12i\sqrt{2} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}). ± előjele negatív. 12i\sqrt{2} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

-6-12i\sqrt{2} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

A törtet (\frac{6}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

-9 elosztása a következővel: 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$