9n^2-23n+20=3n^2 megoldása

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3n^{2}.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 9n^{2} és -3n^{2}. Az eredmény 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 6n^{2}+an+bn+20 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -23.

$$a=-15 b=-8$$

Átírjuk az értéket (6n^{2}-23n+20) \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) alakban.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Kiemeljük a(z) 3n tényezőt az első, a(z) -4 tényezőt pedig a második csoportban.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 2n-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 2n-5=0 és 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3n^{2}.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 9n^{2} és -3n^{2}. Az eredmény 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -23 értéket b-be és a(z) 20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: -24 és 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Összeadjuk a következőket: 529 és -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 ellentettje 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{23±7}{12}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 23 és 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

A törtet (\frac{30}{12}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{23±7}{12}). ± előjele negatív. 7 kivonása a következőből: 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

A törtet (\frac{16}{12}) leegyszerűsítjük 4 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 3n^{2}.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Összevonjuk a következőket: 9n^{2} és -3n^{2}. Az eredmény 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

A(z) 6 értékkel való osztás eltünteti a(z) 6 értékkel való szorzást.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

A törtet (\frac{-20}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{23}{6} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{23}{12}. Ezután hozzáadjuk -\frac{23}{12} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{23}{12} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

-\frac{10}{3} és \frac{529}{144} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

A(z) n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{23}{12}.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$