9a^2-10a+4=0 megoldása

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

-10 ellentettje 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

10+2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{11} kivonása a következőből: 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

10-2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{9}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

-\frac{4}{9} és \frac{25}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Tényezőkre a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{9}.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$