9(x-2)^2-16(x+1)^2=0 megoldása

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 16 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

$$x=-10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 9 és x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -16 és x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 9x^{2} és -16x^{2}. Az eredmény -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -36x és -32x. Az eredmény -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 36 értéket. Az eredmény 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -7x^{2}+ax+bx+20 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-68 ab=-7\times 20=-140$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -68.

$$a=2 b=-70$$

Átírjuk az értéket (-7x^{2}-68x+20) \left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right) alakban.

$$\left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right)$$

A -x a második csoportban lévő első és -10 faktort.

$$-x\left(7x-2\right)-10\left(7x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 7x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(7x-2\right)\left(-x-10\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 7x-2=0 és a -x-10=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 9 és x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -16 és x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 9x^{2} és -16x^{2}. Az eredmény -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -36x és -32x. Az eredmény -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 36 értéket. Az eredmény 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -7 értéket a-ba, a(z) -68 értéket b-be és a(z) 20 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -68.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -7.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+28\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 28 és 20.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+560}}{2\left(-7\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 4624 és 560.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{5184}}{2\left(-7\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 5184.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±72}{2\left(-7\right)}$$

-68 ellentettje 68.

$$x=\frac{68±72}{2\left(-7\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -7.

$$x=\frac{68±72}{-14}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{68±72}{-14}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 68 és 72.

$$x=\frac{140}{-14}$$

140 elosztása a következővel: -14.

$$x=-10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{68±72}{-14}). ± előjele negatív. 72 kivonása a következőből: 68.

$$x=-\frac{4}{-14}$$

A törtet (\frac{-4}{-14}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{2}{7}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-10 x=\frac{2}{7}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 9 és x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x+1\right)^{2}).

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: -16 és x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: 9x^{2} és -16x^{2}. Az eredmény -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Összevonjuk a következőket: -36x és -32x. Az eredmény -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Kivonjuk a(z) 16 értékből a(z) 36 értéket. Az eredmény 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 20. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$-7x^{2}-68x=-20$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -7.

$$\frac{-7x^{2}-68x}{-7}=-\frac{20}{-7}$$

A(z) -7 értékkel való osztás eltünteti a(z) -7 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{68}{-7}\right)x=-\frac{20}{-7}$$

-68 elosztása a következővel: -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=-\frac{20}{-7}$$

-20 elosztása a következővel: -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=\frac{20}{7}$$

Elosztjuk a(z) \frac{68}{7} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{34}{7}. Ezután hozzáadjuk \frac{34}{7} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}$$

A(z) \frac{34}{7} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{20}{7}+\frac{1156}{49}$$

\frac{20}{7} és \frac{1156}{49} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{1296}{49}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{1296}{49}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1296}{49}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{34}{7}=\frac{36}{7} x+\frac{34}{7}=-\frac{36}{7}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{34}{7}.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$