9x^2-8x+4=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } -8x+4=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}\approx 0,444444444+0,496903995i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}\approx 0,444444444-0,496903995i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36\times 4}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-144}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és -144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-80}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{8+4\sqrt{5}i}{18}$$

8+4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18}). ± előjele negatív. 4i\sqrt{5} kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+8}{18}$$

8-4i\sqrt{5} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$9x^{2}-8x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-8x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-8x}{9}=-\frac{4}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{9}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$$

-\frac{4}{9} és \frac{16}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{20}{81}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{5}i}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{5}i}{9}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{9}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$