9x^2-30x+25=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx+25 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -30.

$$a=-15 b=-15$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}-30x+25) \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Kiemeljük a(z) 3x tényezőt az első, a(z) -5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-5 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Átírjuk kéttagú kifejezés négyzetére.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Az egyenlet megoldásához elvégezzük ezt a műveletet: 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -30 értéket b-be és a(z) 25 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 900 és -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

-30 ellentettje 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

A törtet (\frac{30}{18}) leegyszerűsítjük 6 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 25.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Ha kivonjuk a(z) 25 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

A törtet (\frac{-30}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

-\frac{25}{9} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

A(z) x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet. Azonosak a megoldások.

$$x=\frac{5}{3}$$