9x^2-245x+500=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } -245x+500=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \approx 2,222222222$$

$$x=25$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-245x+500=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -245 értéket b-be és a(z) 500 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{\left(-245\right)^{2}-4\times 9\times 500}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -245.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-4\times 9\times 500}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-36\times 500}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 500.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{60025-18000}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 60025 és -18000.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 42025.

$$x=\frac{-\left(-245\right)±205}{2\times 9}$$

-245 ellentettje 245.

$$x=\frac{245±205}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{245±205}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{245±205}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 245 és 205.

$$x=\frac{450}{18}$$

450 elosztása a következővel: 18.

$$x=25$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{245±205}{18}). ± előjele negatív. 205 kivonása a következőből: 245.

$$x=\frac{40}{18}$$

A törtet (\frac{40}{18}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{20}{9}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=25 x=\frac{20}{9}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-245x+500=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 500.

$$9x^{2}-245x+500-500=-500$$

Ha kivonjuk a(z) 500 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-245x=-500$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-245x}{9}=-\frac{500}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x=-\frac{500}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{245}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{245}{18}. Ezután hozzáadjuk -\frac{245}{18} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\left(-\frac{245}{18}\right)^{2}=-\frac{500}{9}+\left(-\frac{245}{18}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{245}{18} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}=-\frac{500}{9}+\frac{60025}{324}$$

-\frac{500}{9} és \frac{60025}{324} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{245}{9}x+\frac{60025}{324}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{245}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{245}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{245}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{245}{18}=-\frac{205}{18}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{245}{18}.

$$x=25 x=\frac{20}{9}$$