9x^2-12x+10=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0,666666667+0,816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0,666666667-0,816496581i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) -12 értéket b-be és a(z) 10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 144 és -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

-12 ellentettje 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 12 és 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

12+6i\sqrt{6} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}). ± előjele negatív. 6i\sqrt{6} kivonása a következőből: 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

12-6i\sqrt{6} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

A törtet (\frac{-12}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

-\frac{10}{9} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{3}.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$