9x^2+6x=10 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } +6x=10$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{3}\approx 0,772208263$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{3}\approx -1,43887493$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}+6x=10$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 10.

$$9x^{2}+6x-10=10-10$$

Ha kivonjuk a(z) 10 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+6x-10=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 6 értéket b-be és a(z) -10 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-10\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-10\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-10\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+360}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 36 és 360.

$$x=\frac{-6±\sqrt{396}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 396.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{11}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{11}}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±6\sqrt{11}}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -6 és 6\sqrt{11}.

$$x=\frac{6\sqrt{11}-6}{18}$$

-6+6\sqrt{11} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-6±6\sqrt{11}}{18}). ± előjele negatív. 6\sqrt{11} kivonása a következőből: -6.

$$x=\frac{-6\sqrt{11}-6}{18}$$

-6-6\sqrt{11} elosztása a következővel: 18.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}+6x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{10}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{10}{9}$$

A törtet (\frac{6}{9}) leegyszerűsítjük 3 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{10}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10+1}{9}$$

\frac{10}{9} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{11}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{11}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{11}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{11}-1}{3}$$