9x^2+26x-40=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } +26x-40=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1,111111111$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-40 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=26 ab=9\left(-40\right)=-360$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 26.

$$a=-10 b=36$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}+26x-40) \left(9x^{2}-10x\right)+\left(36x-40\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-10x\right)+\left(36x-40\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$x\left(9x-10\right)+4\left(9x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 9x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(9x-10\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 9x-10=0 és a x+4=0.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}+26x-40=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 26 értéket b-be és a(z) -40 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 9\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 26.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 9\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-36\left(-40\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -40.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+1440}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 676 és 1440.

$$x=\frac{-26±\sqrt{2116}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2116.

$$x=\frac{-26±46}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-26±46}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-26±46}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -26 és 46.

$$x=\frac{20}{18}$$

A törtet (\frac{20}{18}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{10}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-26±46}{18}). ± előjele negatív. 46 kivonása a következőből: -26.

$$x=-\frac{72}{18}$$

-72 elosztása a következővel: 18.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}+26x-40=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 40.

$$9x^{2}+26x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -40 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+26x=-\left(-40\right)$$

-40 kivonása a következőből: 0.

$$9x^{2}+26x=40$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+26x}{9}=\frac{40}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x=\frac{40}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{26}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{13}{9}. Ezután hozzáadjuk \frac{13}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{13}{9}\right)^{2}$$

A(z) \frac{13}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=\frac{40}{9}+\frac{169}{81}$$

\frac{40}{9} és \frac{169}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}=\frac{529}{81}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{26}{9}x+\frac{169}{81}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}=\frac{529}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{13}{9}=\frac{23}{9} x+\frac{13}{9}=-\frac{23}{9}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{13}{9}.

$$x=\frac{10}{9} x=-4$$