9x^2+14x-8=0 megoldása

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 9x^{2}+ax+bx-8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=-4 b=18$$

Átírjuk az értéket (9x^{2}+14x-8) \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right) alakban.

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 2 faktort.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 9x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 9x-4=0 és a x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 9 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: -36 és -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±22}{18}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

A törtet (\frac{8}{18}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{4}{9}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±22}{18}). ± előjele negatív. 22 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

-36 elosztása a következővel: 18.

$$x=-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

-8 kivonása a következőből: 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

A(z) 9 értékkel való osztás eltünteti a(z) 9 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Elosztjuk a(z) \frac{14}{9} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{9}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{9} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{9} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

\frac{8}{9} és \frac{49}{81} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{9}.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$